TEMATICA PENTRU OCUPAREA POSTULUI DE ASISTENT, POZIŢIA NR. 23 DIN STATUL DE FUNCŢIUNI AL DEPARTAMENTULUI
Calcul diferenţial
Derivabilitatea funcţiei de o variabilă, formula lui Taylor, exemple şi aplicaţii. Funcţii de mai multe variabile, derivate parţiale, derivata după un versor, diferenţiabilitate. Funcţii implicite. Extremele (libere şi cu legături) funcţiilor de mai multe variabile. Elemente de teoria câmpurilor. Câmpuri scalare, derivata după o direcţie, gradient, variaţia maximă a unui scalar. Câmpuri vectoriale: divergenţa şi rotorul unui câmp vectorial.Calcul integral
Primitve, metode de calcul (schimbări de variabilă, substituţiile lui Euler şi Cebîşev). Integrala definită: definiţie, interpretare geometrică, aplicaţii, proprietăţi. Integrale improprii şi cu parametru, integrale bşi G. Integrale curbilinii de speţa I şi II. Integrale duble şi triple : definiţie, formule de calcul, aplicaţii. Integrale de suprafaţă, formule integrale: Stokes, Gauss-Ostrogradski.Ecuaţii diferenţiale
Ecuaţii diferenţiale de ordinul I: exemple din fizică, biologie etc., soluţia generală şi soluţia problemei Cauchy. Clasificare şi metodă de rezolvare analitică: ecuaţii cu variabille separabile, omogene, liniare, Bernoulli, Riccati. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior, problema Cauchy. Ecuaţii liniare de ordin „n„ omogene, spaţiul vectorial al soluţiilor şi soluţia generală. Soluţia generală a ecuaţiei neomogene, metoda variaţiei constantelor pentru determinarea unei soluţii particulare. Ecuaţii diferenţiale cu coeficienţi constanţi: obţinerea unui sistem fundamental de soluţii şi a unei soluţii particulare (pentru ecuaţia neomogenă) prin metoda coeficienţilor nedeterminaţi. Ecuaţia diferenţială a lui Euler. Sisteme de ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi. Metoda eliminării şi metoda matriceală. Sisteme simetrice: integrale prime, metoda combinaţiilor integrabile, aplicaţii la determinarea liniilor de câmp ale unui câmp vectorial. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul I liniare şi cvasiliniare, problema Cauchy, aplicaţii la determinarea suprafeţelor de câmp, câmpuri biscalare.
Serii de funcţii -
Serii de numere reale: definiţie, exemple, criterii de convergenţă. Convergenţă punctuală şi uniformă. Serii de puteri, serii Taylor, dezvoltarea în serie de puteri ale unor funcţii elementare. Serii Fouriei trigonometrice.
Funcţii complexe
Definiţia numerelor complexe, operaţii de calcul, interpretare geometrică. Funcţii complexe elementare : funcţia exponenţială, funcţii trigonometrice şi hiperbolice. Funcţii monogene, condiţiile Cauchy – Riemann, interpretare geometrică a derivatei complexe, transformări şi reprezentări conforme, funcţii olomorfe. Integrala complexă, teoremele lui Cauchy. Serii Taylor şi Laurent, puncte singulare, reziduuri. Teorema reziduurilor, aplicaţii.
Transformata Laplace
Funcţii original, proprietăţi ale transformatei Laplace, formele uzuale. Inversarea transformării Laplace, formula Mellin-Fourier. Elemente de calcul operaţional : rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuaţii şi sisteme de ecuaţii integro-diferenţiale liniare.
Serii Fourier generalizate
Produs scalar în spaţii Hilbert, ortogonalizarea unui sistem de funcţii, polinoame ortogonale (Legendre, Cebârşev, Hermite, Laguerre). Serii Fourier în raport cu un sistem ortogonal de funcţii, serii Fourier trigonometrice.
Transformata Fourier
Integrala şi transformata Fourier, proprietăţi, inversarea transformatei Fourier. Transformata Fourier prin sinus şi cosinus, aplicaţii la rezolvarea unei ecuaţii integrale. Transformata Fourier şi convoluţia funcţiilor.
Ecuaţii cu diferenţe
Ecuaţii cu diferenţe de ordin n, omogene şi neomogene. Transformata Laplace discretă, proprietăţi, aplicaţii la rezolvarea ecuaţiilor cu diferenţe finite.Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin 2
Clasificare, aducere la forma canonică. Ecuaţiile fizicii matematice: ecuaţia undelor, ecuaţia căldurii, ecuaţia Laplace şi Poisson. Metoda separării variabilelor pentru probleme cu condiţii iniţiale şi la limită.
Funcţii BESSEL
Ecuaţia lui Bessel, funcţii Bessel de prima şi a doua speţă, funcţii Bessel modificate. Ortogonalitatea funcţiilor Bessel.
Algebră liniară.
Spaţii vectoriale.. Liniar dependenţa şi independenţă. Bază, coordonatele unui vector într-o bază, dimensiune. Schimbări de baze. Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de bază.
Aplicatii liniare. Nucleul şi imaginea unei aplicaţii liniare. Matricea unei aplicaţii liniare. Modificarea matricei unei aplicaţii liniare la o schimbare de bază. Vectori şi valori proprii. Forma diagonală.
Forme liniare, proprietăţi. Forme biliniare. Matricea unei forme biliniare. Forme pătratice. Reducerea formelor pătratice la forma canonică. Metoda Jacobi. Metoda Gauss. Metoda valorilor proprii.
Spaţii vectoriale euclidiene. Ortogonalitate. Procedeul de ortogonalizare Gramm- Schmidt.
Geometrie analitică.
Algebră vectorială, noţiunea de vector în spaţiul geometric intuitiv. Produs scalar, produs vectorial, produs mixt, dublu produs vectorial.
Dreapta şi planul în spaţiu. Planul: reprezentări analitice, tipuri de ecuaţii ale unui plan. Poziţii relative a două plane. Distanţa de la un punct la un plan. Distanţa între două plane paralele. Fascicul de plane.
Dreapta: reprezentări analitice, tipuri de ecuaţii ale unei drepte. Poziţii relative a două drepte. Distanţa între două drepte în spaţiu. Poziţia unei drepte faţă de un plan.
Sfera: reprezentări analitice. Poziţia unei drepte faţă de o sferă. Poziţia unui plan faţă de o sferă. Puterea unui punct faţă de o sferă.
Suprafeţe cilindrice de rotaţie şi conoide. Elipsoidul, hiperboloidul, paraboloidul.
Geometrie diferenţială.
Curbe în R³. Tangenta la o curbă în spaţiu. Triedrul Frenet. Ecuaţiile Frenet.
Curbura şi torsiunea unei curbe în spaţiu. Cercul osculator.
Curbe în R². Formule de calcul a curburii unei curbe plane. Caracterizarea cercului şi a dreptei.Evoluta şi evolventa unei curbe plane.
Suprafeţe în R³. Planul tangent la o suprafaţă. Prima şi a doua formă fundamentală a unei suprafeţe. Linii asimptotice pe o suprafaţă. Curburi principale, curbura medie, curbura Gauss.
Bibliografie
- Colojoară – Analiză matematică, E.D.P., Bucureşti, 1983;
- O. Stănăşilă – Analiză matematică, E.D.P., Bucureşti, 1981;
- Gh. Siretchi – Calcul diferenţial şi integral, vol. I, II, Ed. Ştiinţifică şi enciclopedică ;
- S. Antohe, N. Codau –Algebră liniară şi geometrie analitică, Univ. Galati 1979
- S. Antohe, N. Codău, T Buhăescu, – Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială, culegere de probleme, Galaţi 1986.
- M.A. Aprodu, – Introducere în geometria curbelor şi suprafeţelor, Ed.EUROPLUS, Galaţi 2007.
- Sabac I.Gh.– Matematici speciale, E.D.P., 1983;
- Rudner V. – Probleme de matematici speciale, E.D.P., 1982.
